Este
método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
La expresión anterior puede
derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por
el teorema de Taylor tenemos:
0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2)
|
en donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable
ignorar el término O(h2):
por lo que obtenemos la siguiente
expresión para h:
A partir de la ecuación (y teniendo en
cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación
El método de Newton tiene una
interpretación geométrica sencilla, como se puede apreciar del análisis de la
figura. De
hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que
contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya
pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La
nueva aproximación a la raíz, x1,
se obtiene de la intersección de la función linear con el eje Xde ordenadas.
Veamos como
podemos obtener la ecuación a partir de lo
dicho en el párrafo anterior. La ecuación de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0))
y de pendiente f'(x0)
es:
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