Extremos Relativos

Una aplicación clasica del Teorema Local de Taylor, que vimos en el capıtulo

anterior, es el estudio de los extremos relativos de una funcion escalar. Aunque la analog´ıa con el caso de una variable es total, hay algunas diferencias

que surgen de manera natural por el paso a una dimension superior.

En lo sucesivo trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un

conjunto A ½ R

. Se dirá que una tal función presenta un extremo relativo

en un punto a 2

o

A, si existe un entorno V de a contenido en A, tal que la

diferencia f(x) ¡ f(a) no cambia de signo cuando x 2 V :

Máximo Si f(x) ¡ f(a) · 0.

Mínimo Si f(x) ¡ f(a) ¸ 0.

Condiciones necesarias de extremo

Cuando f es una función diferencia ble se obtiene la siguiente condici´on necesaria de extremo, totalmente analoga a la de funciones de una variable.

Proposici´on 12.1 Si f es diferenciable en a y presenta un extremo relativo

en ese punto, entonces Df(a) = 0.

Demostraci´on. Supongamos, para concretar, que f presenta un m´ınimo en

a. Sea entonces h un vector cualquiera y sea ± > 0 tal que para cada

t 2 [¡±; ±]

f(a + th) ¡ f(a) ¸ 0:

Sea F = f ± ¸, donde ¸ es la aplicaci´on de [¡±; ±] en A; ¸(t) = a + th.

Entonces F es una aplicaci´on de una variable, derivable en 0 y que presenta

123124 Extremos Relativos 12.1

un mınimo relativo en ese punto. Luego su derivada en 0, F

(0) debe ser

igual a 0. Se tiene pues:

12.2 Por tanto, el proceso para encontrar los puntos de extremo relativo

para una función diferencia ble comienza con el planteamiento del sistema

(x1;¢ ¢ ¢ ; xn) = 0; i = 1;2;¢ ¢ ¢ ; n:

Los puntos soluci´on de este sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas se

denominan puntos cr´ıticos. Despu´es de la proposici´on 12.1, una condici´on

necesaria para que la funci´on f presente un extremo relativo en un punto x

es que x sea un punto cr´ıtico.

Es bien conocido que para funciones de una variable, una condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on suficientemente derivable presente

un extremo relativo en un punto cr´ıtico, es que la primera derivada que no se

anule en ese punto (supuesta que hay alguna) sea de orden par. Para funciones de varias variables, las cosas son menos simples y esta condici´on, aunque

necesaria, no ser´a suficiente para garantizar la existencia de extremo.