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ASÍNTOTAS

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Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

a.      Asíntotas verticales (paralelas al eje  Y)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Concavidad

una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo , dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplano) se dice convexa. 

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad 

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b)

Extremos absolutos

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función; aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están mas allá del alcance de esta guía. 

TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS)

Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).El estudiante puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en

[a, b]

y que no posea extremos absolutos en

[a, b]

. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple

Extremos Relativos

Una aplicación clasica del Teorema Local de Taylor, que vimos en el capıtulo

anterior, es el estudio de los extremos relativos de una funcion escalar. Aunque la analog´ıa con el caso de una variable es total, hay algunas diferencias

que surgen de manera natural por el paso a una dimension superior.

En lo sucesivo trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un

conjunto A ½ R

. Se dirá que una tal función presenta un extremo relativo

en un punto a 2

o

A, si existe un entorno V de a contenido en A, tal que la

diferencia f(x) ¡ f(a) no cambia de signo cuando x 2 V :

Máximo Si f(x) ¡ f(a) · 0.

Mínimo Si f(x) ¡ f(a) ¸ 0.

Condiciones necesarias de extremo

Cuando f es una función diferencia ble se obtiene la siguiente condici´on necesaria de extremo, totalmente analoga a la de funciones de una variable.

Proposici´on 12.1 Si f es diferenciable en a y presenta un extremo relativo

en ese punto, entonces Df(a) = 0.

Demostraci´on. Supongamos, para concretar, que f presenta un m´ınimo en

a. Sea entonces h un vector cualquiera y sea ± > 0 tal que para cada

t 2 [¡±; ±]

f(a + th) ¡ f(a) ¸ 0:

Sea F = f ± ¸, donde ¸ es la aplicaci´on de [¡±; ±] en A; ¸(t) = a + th.

Entonces F es una aplicaci´on de una variable, derivable en 0 y que presenta

123124 Extremos Relativos 12.1

un mınimo relativo en ese punto. Luego su derivada en 0, F

(0) debe ser

igual a 0. Se tiene pues:

12.2 Por tanto, el proceso para encontrar los puntos de extremo relativo

para una función diferencia ble comienza con el planteamiento del sistema

(x1;¢ ¢ ¢ ; xn) = 0; i = 1;2;¢ ¢ ¢ ; n:

Los puntos soluci´on de este sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas se

denominan puntos cr´ıticos. Despu´es de la proposici´on 12.1, una condici´on

necesaria para que la funci´on f presente un extremo relativo en un punto x

es que x sea un punto cr´ıtico.

Es bien conocido que para funciones de una variable, una condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on suficientemente derivable presente

un extremo relativo en un punto cr´ıtico, es que la primera derivada que no se

anule en ese punto (supuesta que hay alguna) sea de orden par. Para funciones de varias variables, las cosas son menos simples y esta condici´on, aunque

necesaria, no ser´a suficiente para garantizar la existencia de extremo.

Derivada de orden superior

 La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

Método de Newton

Este método parte de una aproximación inicial x₀ y obtiene una aproximación mejor, x₁, dada por la fórmula:

La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:

0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2)

en donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el término O(h²):

0 = f(x) + hf'(x)

por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

A partir de la ecuación (y teniendo en cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación 
  

  

El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, como se puede apreciar del análisis de la figura. De hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x₀,f(x₀)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x₀). La nueva aproximación a la raíz, x₁, se obtiene de la intersección de la función linear con el eje Xde ordenadas.

Veamos como podemos obtener la ecuación  a partir de lo dicho en el párrafo anterior. La ecuación de la recta que pasa por el punto (x₀,f(x₀)) y de pendiente f'(x₀) es:

y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)