Diferenciación implícita

          Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de una función implícita.

          En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.    

          Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

La elasticidad de la demanda,

La elasticidad de la demanda, también conocida como la elasticidad-precio de la demanda, es un concepto que en economía se utiliza para medir la sensibilidad o capacidad de respuesta de un producto a un cambio en su precio. En principio, la elasticidad de la demanda se define como el cambio porcentual en la cantidad demandada, dividido por el cambio porcentual en el precio. La elasticidad de la demanda puede ser expresada gráficamente a través de una simplificación de curvas de demanda.

Como descubrió el economista francés Auguste Cournot en 1850 (autor de la Loi de debit), la cantidad demandada de un bien (si todo lo demás permanece constante = ceteris paribus) es función de su precio y, por tanto, a menor precio mayor demanda. Alfred Marshall en sus Principios de Economía (1890) desarrolló el tema en forma más detallada.

Esta relación inversa entre precio y cantidad genera un coeficiente negativo, por eso generalmente se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. La elasticidad de la demanda se expresa como Ed y dependiendo de la capacidad de respuesta a los cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica (A) o inelástica (B). Cuanto más horizontal sea la curva de demanda, mayor es la elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva de demanda es más bien vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica al precio.

Derivada logarítmica

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas 

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener  Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:

en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas 

Las derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:

Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':

Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de factores. La técnica descripta hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.

Regla de la cadena y de potencia

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla 

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en , entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

Notación de Leibniz 

Donde  indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

La regla de la potencia  es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2,al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.